Задачі підвищеної складностістр » 31

Доведіть, що число 3 не може бути дискримінантом квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0, якими б не були цілі числа а, b, с. 1) ах2 + bх + с = 0; D = b2 – 4ас; а, b, с — цілі числа. 2) Припустимо, що b2 – 4ас = 3. Тоді b2 = 4ас + 3. Оскільки а і с — цілі числа, то 4ас + 3 — непарне число. Тому b2 — непарне число, а тому b = 2k + 1, де k ∈ Z. Маємо (2k + 1)2 = 4ас + 3; 4k2 + 4k + 1 = 4ас + 3; 4k2 + 4k – 4ас = 2; 2(k2 + k – ас) = 1. Оскільки k, а, с — цілі числа, то остання рівність неможлива. 3) Наше припущення неправильне. Отже, D ≠ 3, що й треба було довести.