Задачі підвищеної складностістр » 8

Доведіть, що коли для чисел х, у, z, m, n, p справджуються рівності x/m + y/n + z/p = 1 і m/x + n/y + p/z = 0, то для них справджується і рівність x^2/m^2 + y^2/n^2 + z^2/p^2 = 1. Піднесемо рівність x/m + y/n + z/p = 1 до квадрата. (x/m + y/n + x/p)2 = 1; x^2/m^2 + y^2/n^2 + z^2/p^2 + 2 • (x/m • y/n + x/m •z/p + y/n • z/p) = 1; x^2/m^2 + y^2/n^2 + z^2/p^2 + 2 • (xyp+xzn+myz)/mnp = 1 (*). За умови m/x + n/y + p/z = 0 маємо (myz+nxz+xyp)/xyp = 0; myz + nxz + xyp = 0. Підставимо у рівність (*). Маємо x^2/m^2 + y^2/n^2 + z^2/p^2 + 2 • 0 = 1; x^2/m^2 + y^2/n^2 + z^2/p^2 = 1, що й треба було довести.