Задачі підвищеної складностістр » 9

Доведіть, що коли a + 1/b = b + 1/c = с + 1/а, то a2b2c2 = 1 або a = b = c. За умови a + 1/b = b + 1/c маємо a – b = 1/c – 1/b; a – b = (b-c)/bc. Аналогічно матимемо b – c = (c-a)/ac; c – a = (a-b)/ab. Перемножимо почленно три утворені рівності. Маємо (a – b)(b – c)(c – a) = ((b-c)(c-a)(a-b))/(a^2 b^2 c^2 ); (a – b)(b – c)(c – a)(1 – 1/(a^2 b^2 c^2 )) = 0; І можливічть. Тоді з рівності a + 1/b = b + 1/c маємо b + 1/b = b + 1/c; 1/b = 1/c; b = c. Отже, a = b = c. Аналогічно розглядаємо b = c i mc = a. ІІ можливість. 1 – 1/(a^2 b^2 c^2 ) = 0; a2b2c2 = 1. Отже, a = b = c або a2b2c2 = 1, що й треба було довести.