Задачі підвищеної складностістр » 1

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ 1. Доведіть, що при додатних значеннях a і b (a ≠ b) значення дробу (a^2- b^2)/(a-b) більше за відповідне значення дробу (a^2+ b^2)/(a+b). Розглянемо різницю: (a^2- b^2)/(a-b) – (a^2+ b^2)/(a+b) = (a^3+ ba^2- ab^2- b^3- a^3+ ba^2- ab^2+ b^3)/((a-b)(a+b)) = (2ba^2- 2ab^2)/((a-b)(a+b)) = (2ab(a-b))/((a-b)(a+b)) = 2ab/(a+b) . Оскільки а > 0 i b > 0, то 2ab/(a+b) > 0. Тому (a^2- b^2)/(a-b) > (a^2+ b^2)/(a+b), що й треба було довести.