Задачі підвищеної складностістр » 24

Доведіть тотожність: 1) (1 + √(1- x^2 ) + x^2/√(1- x^2 )) : (1/(1- x^2 ) + 1/√(1- x^2 )). Позначимо √(1- x^2 ) = t, тоді 1 – x2 = t2; x2 = 1 – t2. Маємо (1 + t + (1- t^2)/t) : (1/t^2 + 1/t) = (t+ t^2+ 1- t^2)/t : (1+t)/t^2 = ((1+t)t^2)/(t(1+t)) = t = √(1- x^2 ), що й треба було довести. 2) (a- √b)/(a+ √b) + (a^2- ab/√b)/(a- √b) – (a+ √b)/(a- √b) + (4a√b)/(a^2- b) = ((a- √b )^2+ a(a+ √b)(a- √b)- (a- √b )^2+ 4a√b)/((a+ √b)(a- √b)) = (a^2- 2a√b+ b+ a^3- ab- a^3- 2a√b- b+4a√b)/(a^2-b) = (a^3- ab)/(a^2- b) = (a(a^2- b))/(a^2- b) = a, що й треба було довести.