Задачі підвищеної складностістр » 36

Доведіть, що коли a, b і с – сторони трикутника, то рівняння b2x2 + (b2 + с2 – а2)х + с2 = 0 не має коренів. b²x² + (b² + c² – а²)x + c² = 0. D = (b² + c² – а²)2 – 4b²c² = (b² + c² – а²)2 – (2bc)² = (b² + c² – а² – 2bc)(b² + c² – а² + 2bc) = ((b – c)² – а²)((b + c)² – а)² = (b – c – а)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a). Оскільки a, b, c – сторони трикутника, то b < с + а, а тому b – с – а < 0; а + b > c, тому b – c + a > 0 і b + c > a, а тому b + c – a > 0. Зрозуміло, що b + c + a > 0. Отже, D < 0, рівняння немає розв'язків, що й треба було довести.