3. Трикутники » 661

Доведи: якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, який лежить проти цього катета, дорівнює 30°. Дано: ∆АВС (∠С = 90°); ВС = 1/2АВ. Довести: ∠ВАС = 30°. Доведення На прямій ВС відкладемо відрізок CD, що дорівнює стороні СВ, і проведемо відрізок AD. В ∆ВСА і ∆DCA: 1) BC = CD – за побудовою; 2) АС – спільна сторона. Отже, ∆ВСА = ∆DCA за двома катетами. Тоді АВ = АD як відповідні сторони рівних трикутників. За умовою ВС = 1/2АВ, тоді BD = AB. Тому ∆DAB – рівносторонній. ∠А = ∠В = ∠D = 180° : 3 = 60°. Медіана АС також є бісектрисою ∆DAB. Тоді ∠ВАС = 1/2∠А = 1/2 • 60° = 30°.