РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 599

599. Відповідні сторони двох подібних трикутників попарно додано і з утворених трьох відрізків побудувано новий трикутник. Чи подібний цей трикутник даним трикутникам? Нехай a1; b1; с1 і а2; b2; c2 — сторони двох подібних трикутників, тоді a_2/a_1 = b_2/b_1 = c_2/c_1 і a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2 . a1 + a2; b1 + b2; c1 + c2 – сторони нового трикутника. (a_1+ a_2)/a_1 = 1 + a_2/a_1 ; (b_1+ b_2)/b_1 = 1 + b_2/b_1 ; (c_1+ c_2)/c_1 = 1 + c_2/c_1 . Оскільки a_2/a_1 = b_2/b_1 = c_2/c_1 , то 1 + a_2/a_1 = 1 + b_2/b_1 = 1 + c_2/c_1 . Тобто (a_1+ a_2)/a_1 = (b_1+ b_2)/b_1 = (c_1+ c_2)/c_1 . Отже, сторони нового трикутника пропорційні сторонам першого трикутника, тому ці трикутники подібні. Аналогічно (a_1+ a_2)/a_2 = (b_1+ b_2)/b_2 = (c_1+ c_2)/c_2 ; a_1/a_2 + 1 = b_1/b_2 + 1 = c_1/c_2 + 1. Тобто новий трикутник подібний другому з даних трикутників.