РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 715

715. Доведіть, що відстані від точки перетину медіан трикутника до його сторін утроє менші від довжин відповідних висот трикутника. ∆ABC — довільний трикутник, О — точка перетину медіан. CD — медіана, OK ⊥ AB; CN ⊥ AB. CN — висота до сторони AD. ∆ODK – ∆CDN (∠D — спільний, ∠K = ∠N = 90°). 3 подібності трикутників маємо OK/CN = OD/CD. Оскільки медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1 (починаючи з вершини), то СО : DO = 2 : 1, тоді OD : CD = 1 : 3. Звідси OK/CN = OD/CD = 1/3. Тобто відстань від т. О до сторони AB утричі менша, ніж висота, проведена до сторони AB.