РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 720

720. На колі з центром O і радіусом R, у якому проведено два взаємно перпендикулярних діаметри AB і CD, взято точку К. Хорда AK перетинає діаметр CD у точці М, а пряма BK — його продовження у точці N. Доведіть, що OM • ON = R2. ∠АКВ = 90° (вписаний, спирається на діаметр), тоді ∠NKM = 90° (суміжний з ∠AKB). ∆АОМ ~ ∆NKM (прямокутні трикутники, у яких ∠AMO = ∠NMK — як вертикальні). Звідси AO/NK = OM/KM. (І) ∆BON ~ ∆ВКА (прямокутні, ∠B — спільний). Звідси BO/BK = ON/KA. (II) ∆ВАК ~ ∆MKN (прямокутні, ∠BAK = ∠MNK). Звідси BK/MK = KA/KN. (III) З рівності (І): ОМ = (AO •KM)/NK. З рівності (IІ): ОN = (BO •KA)/BK. З рівності (IIІ): BK • KN = MK • KA. OM • ON = (AO •KM)/NK • (BO •KA)/BK = AO • BO • (KM x KA)/(NK x BK). Оскільки BK • KN = MK • KA, то (KM •KA)/(NK •BK) = 1. Отже, OM • ON = AO • OB • 1 = R • R = R2. Тобто OM • ON = R2.