РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 774

774. За основами a і b трапеції (a > b) визначте: 1) відстань між точками, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m, починаючи від меншої основи; 2) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину діагоналей; 3) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину продовжених бічних сторін і має кінці на продовженнях діагоналей. 1) K і P — точки, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m. Нехай ВК = 1х; КА = mх. Проведемо BN ∥ CD. BCDN — паралелограм, ОР = ND = ВС = b. ∆BKO ~ ∆BAN; BA = mx + 1x. KO/AN = BK/BA. Звідси КО = (AN• BK)/BA = ((a- b)•1x)/(1x+ mx) = (a- b)/(1+ m); KP = KO + OP = (a- b)/(1+ m) + b = (a- b+ b+ bm)/(1+ m) = (a+ bm)/(1+ m). 2) O — точка перетину діагоналей, MN ∥ AD; О ∈ MN. ∆ВОС ~ ∆DOA (за двома кутами). Звідси BO/OD = b/a = CO/AO. Нехай ВО = bx; OD = ах; BD = bx + ax; CO = bx; OA = ax. ∆BMO ~ ∆BAD. MO/AD = BO/BD; MO = (BO• AD)/BD = (bx• a)/(bx+ ax) = ba/(b+ a). ∆CNO ~ ∆CDA. CO/CA = ON/AD; ON = (CO• AD)/CA = (bx• a)/(bx+ ax) = ba/(b+ a). MN = 2ba/(b+ a). 3) ABCD — трапеція. О — точка перетину продовження AB і DC. а ∥ AD; О ∈ а. Р — точка перетину а з DB; К — точка перетину а з АС. ∆ОВА ~ ∆OAD. OD/OC = AD/BC; OD/OC = a/b. Нехай ОD = ах; OС = bх. Тоді CD = ax – bx = (а – b)x. ∆ОСK ~ ∆DСА. Звідси OK/AD = OC/CD. Тоді ОК = (AD • OC)/CD = (a • bx)/(a-b)x = ab/(a-b). Аналогічно РО = ab/(a-b). Тоді РК = 2ab/(a-b).