РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 705

705. Доведіть, що в подібних трикутників відповідні висоти відносяться, як сторони, до яких вони проведені. ∆АВС ~ ∆A1В1С1, тоді ∠А = ∠А1. Проведемо BD ⊥ AC і B1D1 ⊥ A1С1. ∆ABD і ∆A1B1D1 — прямокутні, у яких ∠A = ∠A1, тоді ∆ABD ~ ∆A1B1D1 (за двома кутами: ∠А = ∠А1 і ∠D = ∠D1 = 90°). З подібності трикутників ∆ABD і ∆А1В1D1 маємо: BD/(B_1 D_1 ) = AD/(A_1 B_1 ); за умовою ∆ABC ~ ∆A1B1C1, тому AB/(A_1 B_1 ) = AC/(A_1 C_1 ). Тоді BD/(B_1 D_1 ) = AС/(A_1 С_1 ).