РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 770

770. Прямокутні трикутники з відповідно пропорційними катетом і гіпотенузою подібні. Доведіть. AC/(A_1 C_1 ) = AB/(A_1 B_1 ). На продовженні сторони АС відкладемо СР = СА. З’єднаємо Р і В. На продовженні сторони A1C1 відкладемо С1Р1 = С1A. Тоді ∆АСB = ∆РСВ і AB = ВР. Аналогічно ∆А1С1В1 = ∆Р1С1В1 і А1В1 = Р1В1. Нехай AC/(A_1 C_1 ) = AB/(A_1 B_1 ) = k, тоді AP/(A_1 P_1 ) = 2AC/(〖2A〗_1 C_1 ) = k; AB/(A_1 B_1 ) = PB/(P_1 B_1 ) = k. Тоді ∆РАВ ~ ∆Р1А1В1 (за трьома сторонами). Звідси ∠A = ∠A1, тоді ∆САВ ~ ∆C1A1В1 (за двома сторонами AC/(A_1 C_1 ) = AB/(A_1 B_1 ) і кутом між ними ∠A = ∠A1).