РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 707

707. Доведіть, що в подібних трикутників відповідні бісектриси відносяться, як сторони, до яких вони проведені. ∆АВС ~ ∆А1В1С1. ВK i В1К1, – відповідні бісектриси. Оскільки ∠B = ∠B1, то 1/2∠B = 1/2 ∠В1. Тобто ∠ABK = ∠A1B1K1; ∠A = ∠A1 (з подібності ∆АВС і ∆А1В1С1). Звідси ∆АВК – ∆A1B1K1 (за двома кутами). Тоді BK/(B_1 K_1 ) = AB/(A_1 B_1 ). Але AB/(A_1 B_1 ) = AC/(A_1 C_1 ) (з подібності ∆АВС і ∆A1В1С1). BK/(B_1 K_1 ) = AB/(A_1 B_1 ), a AB/(A_1 C_1 ) = AC/(A_1 C_1 ). Звідси BK/(B_1 K_1 ) = AC/(A_1 C_1 ), тобто відповідні бісектриси відносяться як сторони, до яких вони проведені.