РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 765

765. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти BH і CM. Доведіть, що ∆ABC ~ ∆АМН. Центром кола, описаного навколо ∆CMB є середина ВС, т. Н лежить на цьому ж колі, бо ∆СВМ і ∆ВСН прямокутні із спільною гіпотенузою ВС. ∠BCM = ∠BHM (вписані кути, що спираються на спільну хорду ВМ; ∠BOC = ∠МОН — вертикальні). Отже, ∆МОН ~ ∆ВОС. Нехай ∠ВСМ = ∠BHM = х, тоді ∠MBC = 90° – x (з ∆МВС), але ∠ABC = ∠MBC. ∠BHA = 90° (ВH ⊥ AС; ∠BHM = х), тоді ∠AHM = 90° – x. У ∆АВС і ∆АНМ: ∠A — спільний; ∠ABC = ∠AHM; ∠ABC = ∠AHM. Тоді ∆АВС ~ ∆АНМ.