РОЗДІЛ 3. Подібність трикутників » 818

818. У гострий кут вписано три кола, причому середнє коло дотикається до двох інших. Доведіть, що радіус середнього кола є середнім пропорційним між радіусами крайніх кіл. O1А ⊥ AС; O2А ⊥ AС; O3А ⊥ AС; O1A = r; O2B = х; O3C = R. Проведемо O1D ⊥ О2В. O2F ⊥ O3C. ∆O1O2D ~ ∆O2O3F. Тоді (O_1 O_2)/(O_2 O_3 ) = (O_2 D)/(O_3 F); (r+ x)/(R+ x) = (x- r)/(R- x); rR + Rx – rx – x2 = Rx – Rr + x2 – xr; 2Rr = 2x2; x2 = Rr; x = √(R• r). Отже, радіус середнього кола — середнє пропорційне між радіусами крайніх кіл.