Розділ 1. Чотирикутники » 6.35

6.35 Основи рівнобічної трапеції дорівнюють а і b, а її діагоналі взаємно перпендикулярні. Доведіть, що висота трапеції дорівнює (a+b)/2. 1) ABCD — рівнобічна трапеція; AC ⊥ BD. 2) За властивістю 2 (с. 43 у підручнику), маємо AO = OD; BO = ОС. 3) Проведемо висоту MN, що проходить через точку O. 4) ∆AON = ∆DON (за катетом і гіпотенузою), тому ∠AON = ∠DON= (90°)/2 =45° і AN = ND = a/2. 5) У ∆AON: ∠AON = 90° – 45° = 45°. Тому ∆AON — рівнобедрений з основою AN i ON = AN = a/2. 6) Аналогічно OM = b/2. 7) Тоді MN = ON + OM = a/2 + b/2 = (a+b)/2, що й треба було довести.