Розділ 2. Подібність трикутників. Вправи 455 - 600 » 590

590. Доведи, що в подібних трикутниках відповідні висоти (бісектриси, медіани) пропорційні відповідним сторонам. а) Нехай ∆ABC ~ ∆A1B1C1. AB/(A_1 B_1 ) = k. BK ⊥ AC; B1K1 ⊥ A1C1. ∆ABK ~ ∆A1B1K1. Отже BK/(B_1 K_1 ) = AB/(A_1 B_1 ) = k. У подібних трикутниках відповідні висоти пропорційні відповідним cторонам. б) BM і B1M1 — меридіани трикутників. AM = MC; A1M1 = M1C1. ∆ABM ~ ∆A1B1M1. AB/(A_1 B_1 ) = AM/(A_1 M_1 ) = k; ∠A = ∠A1. З їх подібності маємо: AB/(A_1 B_1 ) = BM/(B_1 M_1 ) = k. У подібних трикутниках відповідні медіани пропорційні відповідним сторонам. в) BP і B1P1 — бісектриси трикутників. ∆ABP ~ ∆A1B1P1 (за двома кутами) AB/(A_1 B_1 ) = k; ∠A = ∠A1; ∠ABP = ∠A1B1P1. З подібності трикутників маємо: AB/(A_1 B_1 ) = BP/(B_1 P_1 ) = k. У подібних трикутниках відповідні бісектриси пропорційні відповідним сторонам.