§ 2. Подібність трикутників » 412

На стороні BC трикутника AВC позначено точку M так, що BM : MC = 3 : 10. У якому відношенні відрізок AM ділить медіану BK трикутника ABC? Виконаємо додаткову побудову: через точку М проводимо пряму МЕ (МЕ ∥ ВК, Е ∈ АС) та через точку К проводимо пряму КF (КF ∥ АМ, F ∈ ВС). Прямі АМ і КF — паралельні. За теоремою про пропорційні відрізки маємо: КF і РМ перетинають сторони ∠КВС. BP/PK = BM/MF та перетинають сторони ∠АСМ: CF/CK = CM/CA або CF/CM = CK/KA. За умовою ВК — медіана ∆АВС. За означенням медіани трикутника маємо: АК = КС або КС = 1/2АС, АС = 2KC. Отже, CF/CM = CK/2CK; CF/CM = 1/2, отже, СМ = 2СF. За умовою ВC : MС = 3 : 10. Нехай ВM = Зх, МС = 10х. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: МF = МС – FС. МР = 2СF – FС, МF = FС, МС = МF + FС, МС = 2MF = 10х, МF = 5х. BP/PK = 3x/5x, отже, ВР : PК = 3 : 5. Відповідь: ВР : РК = 3 : 5.