§ 2. Подібність трикутників » 480

У трикутник ABC вписано квадрат так, що дві його сусідні вершини належать стороні AC, а дві інші — сторонам AB і BC відповідно. Знайдіть сторону квадрата, якщо AC = а, а висота, проведена до сторони AC, дорівнює h. Розглянемо ∆АВС і ∆КВР: ∠B — спільний. За умовою NКРМ — квадрат, отже, КР ∥ АС. За ознакою паралельності прямих маємо: ∠ВРК = ∠ВСА (відповідні). За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆КВР ~ ∆АВС. За властивістю подібних фігур маємо: KP/AC = BF/BE (ВF — висота ∆КВР, ВЕ — висота ∆АВС). Нехай КР = x – сторона квадрата. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВF = ВЕ – ЕF (ЕF = КN = х), BF = h – х; x/a = (h- x)/h; xh = ah – ax; xh + ax = ah; x(a + h) = ah; x = ah/(a+h). Відповідь: ah/(a+h).