§ 2. Подібність трикутників » 391

391. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, AC = 8 см, AD — медіана, BE — висота, BE = 12 см. Із точки D опущено перпендикуляр DF на сторону AC. Знайдіть відрізок DF і кут ADF. За умовою АВ = ВС, тоді ∆АВС — рівнобедрений. За умовою ВЕ — висота, проведена до основи. За властивістю висоти рівнобедреного трикутника маємо: ВЕ — медіана. За властивістю медіан трикутника маємо: АD ∩ ВЕ = О, ВО : ОЕ = 2 : 1. Нехай OE = х см, ВО = 2х (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: ВЕ = ВО + ОС, х + 2х = 12; Зх = 12; х = 12 : 3; х = 4; ОЕ = 4 см. За умовою ВЕ ⊥ АС і DF ⊥ АС, тоді ВЕ ∥ DF. АD — медіана. За означенням медіани маємо D — середина сторони ВС і DF ∥ ВЕ. За теоремою Фалеса маємо F — середина ЕС, тоді DF — середня лінія ∆ВFС. За теоремою про середню лінію трикутника маємо: DF = 1/2ВЕ, DF = 12 : 2 = 6 (см). ВE — медіана, АЕ = EС = 1/2АС, АE = 8 : 2 = 4 (см), ЕС = 4 см. F — середина EС, ЕF = FС = 1/2ЕС, ЕF = 4 : 2 = 2 (см). За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АF = АЕ + ЕF, АF = 4 + 2 = 6 (см). АF = FD = 6 см. Отже, ∆АFD — прямокутний рівнобедрений (∠F = 90°). Отже, ∠АDF = 45°. Відповідь: DF = 6 см, ∠ADF = 45°.