§ 2. Подібність трикутників » 501

У трикутнику ABC відомо, що AC = a, AB = BC = b, AM і CK — бісектриси трикутника. Знайдіть відрізок MK. Розглянемо ∆АВМ і ∆СВК: 1) АВ = СВ (за умовою). 2) ∠В — спільний. 3) ∠ВАМ = ∠ВСК (∠А = ∠С, ∠ВАМ = 1/2 ∠А, ∠ВСК = 1/2 ∠C). Отже, ∆АВМ = ∆СВК за II ознакою рівності трикутників, з цього випливає, що ВМ = ВК. Так як ВА = ВС і ВМ = ВК, то КМ ∥ АС. ∠КАМ = ∠МАС (АМ — бісектриса ∠А). ∠КМА = ∠МАС (як внутрішні різносторонні при КМ ∥ АС і січній АМ). ∠КМА = ∠КАМ, тоді ∆АКМ — рівнобедрений з основою АМ, АК = КМ. Оскільки в ∆АВС КМ ∥ АС, то ∆ВКМ ~ ∆АВС, з цього випливає, що BK/AB = KM/BC = BM/AC; BK/b = KM/a = BM/b. Нехай АК = КМ = х, тоді ВК = АВ – АК, ВК = b – х. (b- x)/b = x/a; а(b – х) = bх; аb – ах = bх; ab = ах + bх; аb = х(а + b); х = ab/(a+ b). Відповідь: ab/(a+ b).