§ 2. Подібність трикутників » 481

У трикутнику ABC відомо, що BC = 72 см, AD — висота, AD = 24 см. У даний трикутник вписано прямокутник MNKP так, що вершини М i Р належать стороні BC, а вершини N і K — сторонам AB і AC відповідно. Знайдіть сторони прямокутника, якщо MP : MN = 9 : 5. За умовою МNКР — прямокутник, отже, NК ∥ ВС. За властивістю сторін прямокутника маємо: NК = МР = x см, МN = РК = DЕ = у см. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: АЕ = АD – DE. За умовою МР : МN = 9 : 5. Нехай МР = 9х (см), МN = 5x (см), АЕ = 24 – 5х (см). Розглянемо ∆АВС і ∆АNК: ∠А — спільний, NК ∥ ВС, АС — січна. За ознакою паралельності прямих маємо ∠АКМ = ∠ACB (відповідні). За І ознакою подібності трикутників маємо: NK/BC = AE/AD (АЕ — висота ∆АNК, AD — висота ∆АВС). NK = MP = 9x (cм). 9х/72 = (24-5х)/24; 24х = 8 • (24 – 5х) | : 8; Зх = 24 – 5х; Зх + 5х = 24; 8х = 24; х = 24 : 8; х = 3. Отже, МР = 9 • 3 = 27 (см), МN = 5 • 3 = 15 (см). Відповідь: 27 см, 15 см.