§ 2. Подібність трикутників » 506

506. На спільній хорді двох кіл, що перетинаються, позначили точку M і через неї провели хорди AB і CD (рис. 167). Доведіть, що ∠DAB = ∠BCD. Розглянемо коло (О1; R1), в цьому колі проведено хорди АВ і NК, що перетинаються в т. М, тоді за властивістю хорд, що перетинаються, NМ • МК = ВМ • МА. Розглянемо коло (O2; R2), в цьому колі проведено хорди СD і NК, що перетинаються в т. М, тоді за властивістю хорд, що перетинаються, NМ • МК = DМ • МС. З цих рівностей випливає, що DМ • МС = ВМ • МА. Розглянемо ∆DМА і ∆ВМС. 1) ∠DMA = ∠ВМС (як вертикальні). 2) DM/MA = BM/MC (так як за умовою DМ • МС = ВМ • МА). З цього випливає ∆DМА ~ ∆ВМС, з цього маємо: ∠DАВ = ∠BCD.