§ 2. Подібність трикутників » 407

Сторони трикутника дорівнюють 39 см, 65 см і 80 см. Коло, центр якого належить більшій стороні трикутника, дотикається до двох інших його сторін. На які відрізки центр цього кола ділить сторону трикутника? За властивістю дотичних до кола, проведених до кола з однієї точки, маємо: ВК = ВN і ОК ⊥ АВ, ОN ⊥ ВС (ОК, ОN – радіуси). Розглянемо ∆OКВ і ∆ОNB — прямокутні. 1) ∠ВКО = ∠BNO = 90°; 2) КВ = ВN; 3) ОВ — спільна сторона. За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆OКВ = ∆ОNВ. За властивістю рівних фігур маємо: ∠КВО = ∠NВО. Отже, ВО — бісектриса ∠АВС. За властивістю бісектриси кута маємо: AO/OC = AB/BC. Нехай АО = х см, тоді ОС = 80 – x (см). Складемо і розв’яжемо рівняння: 39/65 = x/(80-x); 5x = 3(80 – x); 5x = 240 – 3x; 5х + Зх = 240; 8x = 240; x = 240 : 8; х = 30. Отже, АО = 30 см, ОС = 80 – 30 = 50 (см). Відповідь: 30 см, 50 см.