4. Коло і круг » 790

У трикутнику центри вписаного й описаного кіл збігаються. Доведи, що цей трикутник рівносторонній. Дано: ∆АВС; центри вписаного і описаного кіл збігаються. Довести: ∆АВС – рівносторонній. Доведення В ∆ОКВ і ∆ОРВ: 1) ∠ОКВ = ∠ОРВ = 90° – за властивістю описаного кола; 2) ∠КВО = ∠ОРВ – за властивістю вписаного кола; 3) ВО – спільна сторона. Отже, ∆ОКВ = ∆ОРВ – за гіпотенузою і гострим кутом. Тоді ВК = ВР як відповідні сторони рівних трикутників. Аналогічно доводиться, що ВР = СР; СР = СМ; СМ = АМ; АМ = АК. Звідси АВ = ВС = АС; ∆АВС – рівносторонній.