4. Коло і круг » 764

Доведи, що точка перетину двох бісектрис трикутника рівновіддалена від усіх сторін трикутника. Нехай АА1 і ВВ1 – бісектриси кутів А і В трикутника АВС (∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4), О – точка перетину цих бісектрис. ОК ⊥ АВ, OL ⊥ АС, ОМ ⊥ ВС. ∆ALO = ∆AKO за гіпотенузою і гострим кутом, оскільки АО – спільна гіпотенуза і ∠1 = ∠2. З рівності цих трикутників маємо LO = KO. ∆BKO = ∆BMO за гіпотенузою і гострим кутом, оскільки ВО – спільна гіпотенуза і ∠3 = ∠4. З рівності цих трикутників маємо КО = МО. Оскільки LO = KO і KO = MO, то LO = KO = MO. Отже, точка О рівновіддалена від сторін трикутника АВС.