4. Коло і круг » 809

Центр кола O, вписаного в рівносторонній трикутник ABC, сполучено відрізками з вершинами трикутника. Доведи, що трикутники OAB, OBC і OCA дорівнюють один одному. Знайди кути цих трикутників. Дано: ∆АВС – рівносторонній і описаний навколо кола. Довести: ∆ОАВ = ∆ОВС = ∆ОСА. Знайти: кути ∆ОАВ. Доведення В ∆ОАВ і ∆ОВС: 1) АВ = ВС – за умовою; 2) ОА = ОС – як радіуси описаного кола; 3) ОВ – спільна сторона. Отже, ∆ОАВ = ∆ОВС за третьою ознакою рівності трикутників. Аналогічно доводиться, що ∆ОВС = ∆ОСА, ∆ОСА = ∆ОАВ. За умовою ∠А = ∠В = ∠С = 60°. Центром вписаного кола є точка перетину бісектрис трикутника. ∆АОВ: ∠ОАВ = ∠ОВА = 1/2 • 60° = 30°. ∠АОВ = 180° – (30° + 30°) = 120°. Відповідь: 30°; 30°; 120°.