Задачі підвищеної складності » 1333

1333. АВСD і АВК — квадрат і рівносторонній трикутник. Прямі КС і BD перетинаються в точці Р. Доведи, що КР = РD. Розглянь два випадки. 1) Дано: ABCD – квадрат; рівносторонній ∆АВК розміщенний зовні квадрата; KC X BD = P. Довести: KP = PD. Розв'язання ∆КВС – рівнобедрений (за побудовою) ∠КВС = ∠АВК + ∠АВС = 60° + 90° = 150° ∠BKC = ∠BCK = (180° – ∠KBC) : 2 = (180° – 150°) : 2 = 15°. ∠ADK = ∠BCK = 15°; ∠AKD = ∠CKD = 15°. ∆KPD: ∠KDB = 90° – (∠ADK + ∠BDC) = 90° – (15° + 45°) = 30°. ∠DKP = 60° – (∠AKD + ∠CKB) = 60° – (15° + 15°) = 30°. Отже, ∆KPD – рівнобедрений. Тоді KP = PD. 2) Дано: ABCD – квадрат; рівносторонній ∆АВК розміщенний всередині квадрата; KC X BD = P. Довести: KP = PD. Доведення ∆КВС – рівнобедрений (за побудовою). ∠KBC = ∠ABC – ∠ABK = 90° – 60° = 30°. ∠BKC = ∠BCK = (180° – ∠KBC) : 2 = (180° – 30°) : 2 = 75°. ∠ADK = ∠BCK = 75°. ∆DKC: ∠KDC = ∠KCD = 90° – 75° = 15°. ∠DKC = 180° – (15° + 15°) = 150°. ∆DPK: ∠PKD = 180° – ∠DKC = 180° – 150° = 30°. ∠PDK = ∠ADK – ∠ADP = 75° – 45° = 30°. Отже, ∆DPK – рівнобедрений. Тоді KP = PD.