Задачі підвищеної складності » 1347

1347. АВСВ — паралелограм. Зовні нього побудовано квадрати АВАЕ і ВСКМ. Доведи, що відрізки DK і ЕD рівні і перпендикулярні. Дано: ABCD – паралелограм; ABFE i BCKM – квадрати. Довести: DE ⊥ DK, DE = DK. Доведення В ∆EAD i ∆DCK: 1) ∠EAD = ∠DCK = A + 90°; 2) EA = DC – за побудовою; 3) AD = KC – за побудовою. Отже, ∆EAD = ∆DCK – за двома сторонами. Тоді DE = DK як відповідні сторони рівних трикутників. ∠EDK = ∠ADC – (∠ADE + ∠CDK) = 180° – ∠A – ∠EAP = 180° – ∠A – (180° – 90° – ∠A) = 180° – ∠A – 180° + 90° + ∠A = 90°. Отже, DE ⊥ DK.