Задачі підвищеної складності » 1328

1328. Точки К, L, Е і F — середини сторін АВ, ВС, СD і DА чотири­ кутника. Доведи, що коли АС ⊥ BD, то КЕ = FL. Дано: ABCD – чотирикутник; K, K, E, F – середини AB, BC, CD, AD; AC ⊥ BD. Довести: KE = LF. Доведення KL – середня лінія ∆ABC; KL = 1/2AC FE – середня лінія ∆ADC; FE = 1/2AC. Тоді KL = FE. Аналогічно доводиться, що LE = KF. АС ⊥ BD, тоді ∠K = ∠L = ∠E = ∠F = 90°. Отже, чотирикутник KLEF – прямокутник. За властивістю прямокутника KE = LF.