Задачі підвищеної складності » 1376

1376. На діаметрі АВ кола, паралельного його хорді СD, взято до­ вільну точку М. Доведи, що МС2 + МD2 = МА2 + МВ2. Дано: коло; АВ – діаметр; CD – хорда; АВ ∥ CD. Довести: MC2 + MD2 = MA2 + MB2. Доведення Проведемо ОК ⊥ CD. Оскільки ОК – перпендикуляр до CD, то CK = KD. Проведемо MH ⊥ CD. MHKO – прямокутник, тоді MH = OK, KH = OM. 2) Обчислимо MC² + MD2. ∆MHC (∠H = 90°): МС2 = MH² + CH². ∆MHD (∠H = 90°): MD2 = MH² + HD². Нехай СК = KD = а, KH = x, тоді СH = CK + KH = а + х; HD = KD – KH = a – x. МС2 + MD² = MH² + (a + x)² + MH² + (а – x)²; MC² + MD² = 2MH² + (а² + 2ax + x²) + (а² – 2ax + x²); МС2 + MD2 = 2MH² + 2a² + 2x² = 2(MH² + x²) + 2a². ∆ОКС (∠K = 90°): ОК2 + CK² = ОС2. ОК = MH; KH = OM = x. МH² + а² = R² і MH² + x² = OK² + OM². МС2 + MD2 = 2(MH² + а²) + 2x² = 2R² + 20M². 3) Обчислимо AM² + MB2. Нехай OA = OB = R. МА = R + OM; MB = R – OM. МА2 + MB² = (R + OM)² + (R – OM)² = R² + 2R • OM + OM² + (R² – 2R • OM + OM²) = 2R2 + 2OM². МС2 + md² = 2R² + 2OM²; МА2 + МВ² = 2R² + 2OM². Тоді МС2 + MD² = MA² + MB2.