Задачі підвищеної складності » 1375

1375. Основи трапеції дорівнюють 3 і 5, а бічні сторони 2 і 2√2. Знайди кути трапеції. Дано: ABCD – трапеція; BC = 3; AD = 5; AB = 2; CD = 2√2. Знайти: кути трапеції. Розв'язання Проведемо висоти BK і CM. ABCM – прямокутник, тоді KM = BC = 3. Нехай АК = х, тоді MD = AD – KM – AK = 5 – 3 – x = 2 – x. ∆АКВ (∠K = 90°): ВК2 = AB² – АК² = 2² – x² = 4 – x². ∆DMC (∠М = 90°): CM² = CD² – MD2 = (2√2)² – (2 – x)² = 8 – (4 – 4x + x²) = 4 + 4x – x². BK = CM, тоді 4 – x² = 4 + 4x – x2; 4x = 0; x = 0; AK = 0. Отже, точка К збігається з точкою A. AB є висотою трапеції, тоді ∠A = ∠B = 90°. MD = 2 – x = 2 – 0 = 2. Висота AB = 2, тоді СМ = 2. Отже, ∆DMC (∠M = 90°) – рівнобедрений; ∠D = 45°; ∠C = 180° – ∠D = 180° – 45° = 135°. Відповідь: 90°; 90°; 135°; 45°.