Задачі підвищеної складності » 1329

1329. Доведи, що сума діагоналей опуклого чотирикутника менша від його периметра, але більша за півпериметр. Дано: ABCD – чотирикутник; AC X BD = 0. Довести: Р/2 < AC + BD < p. Доведення P = AB + BC + CD + DA. За нерівністю трикутника: 1) ∆ABC: AC < AB + BC; ∆ADC: AC < AD + CD; 2AC < AB + BC + AD + CD; ∆BCD: BD < BC + CD; ∆ABD: BD < AB + AD; 2BD < BC + CD + AB + AD; 2AC + 2BD < 2AB + 2BC + 2CD + 2AD | : 2; AC + BD < AB + BC + CD + AD; AC + BD < P; 2) ∆AOB: OA + OB > AB; ∆BOC: OB + OC > BC; ∆COD: OC + OD > CD; ∆DOA: OD + OA > AD. OA + OB + OB + OC + OC + OD + OD + OA > AB + BC + CD + AD; 2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + BC + CD + AD. 2AC + 2BD > P | : 2; AC + BD > P/2. Отже, P/2 < AC + BD < P.