Задачі підвищеної складності » 1348

1348. На сторонах ВС і СD паралелограма АВСD зовні нього побудовано рівносторонні трикутники ВСК і СDР. Доведи, що АК = АР = КР. Дано: ABCD – паралелограм; ∆ВСК і ∆CDP – рівносторонні. Довести: АК = АР = КР. Доведення Нехай B = D = α. B ∆ABK i ∆ADP: 1) ∠ABK = ∠ADP = α + 60°. 2) AB = PD – за умовою; 3) BK = AD – за умовою. Отже, ∆ABK = ∆ADP за двома сторонами і кутом між ними. Тоді АК = АР як відповідні сторони рівних кутів. B ∆КСР i ∆AВК: 1) ∠КСР = ∠AВК = 60° + β; 2) СР = АВ – за умовою 3) КС = ВК – за умовою. Отже, ∆КСР = ∆AВК за двома сторонами і кутом між ними. Тоді КР = АК як відповідні сторони рівних кутів. Тому АК = АР = КР.