Задачі підвищеної складності » 1359

1359. Знайди відношення катетів прямокутного трикутника, якщо один із його кутів дорівнює 22,5°. Дано: ∆АВС (∠С = 90°), ∠А = 22,5°. Знайти: a/b; b/a. Розв’язання tg α = a/b, α = 22,5°. Кут 22,5° є половиною відомого кута 45°. tg 22,5° = (1-cos⁡〖45°〗)/sin⁡〖45°〗 tg 22,5° = (1- √2/2)/(√2/2) = ((2- √2)/2)/(√2/2) = (2- √2)/√2 = 2/√2 – √2/√2 = √2 – 1. a/b = √2 – 1 ⇒ a : b = (√2 – 1) : 1. Розглянемо обернене відношення: b/a = 1/(√2- 1) = (1 •(√2+ 1))/((√2- 1)(√2+ 1)) = (√2+ 1)/(2-1) = √2 + 1; b : a = (√2 + 1) : 1. Відповідь: (√2 – 1) : 1 або (√2 + 1) : 1.