Задачі підвищеної складності » 1361

1361. Чи існує прямокутний трикутник, куб гіпотенузи якого дорівнює сумі кубів катетів? Дано: ∆АВС (∠С = 90°). Чи існує прямокутний трикутник, у якого c3 = a3 + b3. Розв’язання За теоремою Піфагора: c = √(a^2+ b^2 ). c3 = (√(a^2+ b^2 ))3; (√(a^2+ b^2 )) = a3 + b3 |2 (a2 + b2)3 = (a3 + b3)2; a6 + 3a4b + 3a2b4 + b6 = a6 + 2a3b3 + b6 | : a2b2; 3a2 + 3b2 = 2ab; a2 + b2 ≥ 2ab | • 3; 3a2 + 3b2 ≥ 6ab. Рівність неможлива. Тому такого трикутника не існує.