Задачі підвищеної складності » 1365

1365. Задача Евкліда про золотий поділ. Даний відрізок АВ точкою Р поділи так, щоб виконувалась умова АР : РВ = РВ : АВ. Нехай АВ = a, PB = x, AP = a – x. AP/PB = PB/AB; (a- x)/x = x/a. x2 = a(a – x); x2 + ax – a2 = 0; D = a2 – 4 • 1 • (–a2) = a2 + 4a2 = 5a2. x1 = (-a- √(〖5a〗^2 ))/2 = (-a- a√5)/2 = (-a(1+ √5))/2 – не задовольняє умову. x2 = (-a+ √(〖5a〗^2 ))/2 = (-a+ a√5)/2 = (a(√5 -1))/2. PB = (a(√5 -1))/2. Щоб побудувати відрізок довжиною (a(√5 -1))/2, нам потрібний прямокутний трикутник із катетами а і a/2, тоді гіпотеза дорівнює: √(a^2+ (a/2 )^2 ) = √(〖5a〗^2/4) = (a√5)/2. Побудова 1. Із точки В проведемо перпендикуляр до прямої АВ. 2. Знайдемо середину відрізка АВ. МВ = а/2. 3. На перпендикулярі від т.В відкладемо відрізок ВС; ВС = а/2. 4. З'єднаємо точки А і С; АС = (a√5)/2. 5. Коло K1(X; CB) X AC = L; AL = AC – CK = (a√5)/2 – а/2 = (a(√5 -1))/2. 6. Коло К2 (A; AK) X AB = P.