Задачі підвищеної складності » 1371

1371. Задача Ейлера. Доведи, що в кожному чотирикутнику сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей і чотирьох квадратів відрізка, який сполучає середини діагоналей. Дано: ABCD – чотирикутник; Е – середина АС; F – середина BD. Довести: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4EF². Доведення ∆АВС: за теоремою про медіану AB² + BC² = 2BE² + 〖AC〗^2/2. ∆ADC: за теоремою про медіану. CD² + DA² = 2DE² + 〖AC〗^2/2. Додамо ці рівняння: AB² + BC² + CD2 + DA² = 2BE² + 2DE² + АС2; AB² + BC² + CD2 + DA² = 2(BE² + DE²) + АС2. ∆BED: за теоремою про медіану. BE² + DE² = 2EF² + 〖BD〗^2/2. AB² + BC² + CD² + DA² + 2(2ЕF² + 〖BD〗^2/2) + AC². AB² + BC² + CD² + DA² = 4ЕF² + BD² + AC². AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4EF².