Задачі підвищеної складності » 1377

1377. Доведи, що в прямокутному трикутнику з гострим кутом 15° добуток катетів дорівнює квадрату половини гіпотенузи. Дано: ∆ABC (∠C = 90°); ∠А = 15°. Довести: ab = (с/2)2. Доведення 1) Проведемо медіану CM. CM = с/2. ∆АМС – рівнобедрений; AM = CM. ∠АСМ = ∠А = 15°. ∠CMB – зовнішній кут ∆AMC. ∠СВМ = ∠А + ∠ACM = 15° + 15° = 30°. ∆CHM (∠H = 90°) за властивістю катета, що лежить проти кута 30°. CH = 1/2CM = 1/2 • с/2 = с/4. 2) SABC = 1/2ab; SABC = AB • СH = 1/2 c • с/4 = с^2/8. 1/2 ab = с^2/8; ab = с^2/4; ab = (с/2)2.