Задачі підвищеної складності » 1358

1358. У чотирикутнику АВСD ∠А = ∠В = 100°, ∠АВD = 50°, ∠САВ = 60°. Знайди кут АСD. Дано: ABCD – чотирикутник; ∠А = ∠В = 100°; ∠ABD = 50°; ∠CAB = 60°. Знайти: ∠ACD. Розв’язання 1) ∆ABD: ∠ADB = 180° – 100° – 50° = 30°. 2) ∆ABC: ∠ACB = 180° – 100° – 60° = 20°. 3) ∠CAD = ∠BAD – ∠CAB = 100° – 60° = 40°. ∠CBD = ∠ABC – ∠ABD = 100° – 50° = 50°. Отже, BD – бісектриса ∠В. 4) На промені ВС побудуємо m. E таку, щоб ВЕ = АВ. ∆ABD = ∆EDB (за двома сторонами і кутом між ними). АВ = ВЕ, тоді ∆АВЕ – рівнобедрений. ∠ВЕD = ∠BAD = 100°; ∠BDE = ∠BDA = 30°. 5) ∆AEC: ∠BAE = ∠BEA = (180° – 100°) : 2 = 40°. ∠EAC = ∠BAC – ∠BAE = 60° – 40° = 20°. 6) ∆AEC: ∠EAC = 20°; ∠ACE = 20°. Тоді ∆АЕС – рівнобедрений; АЕ = ЕС. 7) DA = DE, тоді ∆ADE – рівнобедрений. ∠DAE = ∠DAB – ∠BAE = 100° – 40° = 60°. Тоді ∆ADE – рівносторонній; DA = DE = AE. AE = EC, AE = ED ⇒ ED = EC. Тоді ∆DEC – рівнобедрений з основою DC. 8) ∆DEC: ∠DEC = 180° – ∠BED = 180° – 100° = 80°. ∠ECD = ∠EDC = (180° – 80°) : 2 = 50°. 9) ∠ECD = ∠ECA + ∠ACD. ∠ACD = ∠ECD – ∠ECA = 50° – 20° = 30°. Відповідь: 30°.