Задачі підвищеної складності » 1373

1373. Висоти АА1 і ВВ1 трикутника АВС перетинаються в точці Н. Доведи, що А1Н • А1А = ВА1 • СА1 і В1Н • В1В = СВ1 • АВ1. Дано: ∆ABC; АА1, ВВ1 – висоти; АА1 X ВB1 = H. Довести: А1H • A1A = BA1 • CA1; B1H • B1B = CB1 • AB1. Доведення 1) В ∆BA1H (∠А1 = 90°) і ∆AA1C (∠A1 = 90°). ∠HBA1 = 90° – ∠С; ∠CAА1 = 90° – ∠C. Отже, ∆BA1H ~ ∆АА1C (за двома кутами). Із подібності трикутників: (A_1 H)/(CA_1 ) = 〖BA〗_1/〖AA〗_1 ; А1H • АА1 = BA1 • CA1. 2) В ∆АHB1 (∠H = 90°) і ∆BCB1 (∠C = 90°): ∠HAB1 = 90° – ∠C; ∠CBB1 = 90° – ∠C. Отже, ∆AHB1 ~ ∆BCB1 (за двома кутами). Із подібності трикутників: (B_1 H)/〖CB〗_1 = 〖AB〗_1/〖BB〗_1 ; B1H • BB1 = CB1 • AB1.