Задачі підвищеної складності » 1340

1340. Доведи, що висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. Дано: ∆АВС; АА1, ВВ1, СС1 – висоти. Довести: висоти перетинаються в одній точці. Розв’язання Нехай АА1 Х ВВ1 = Н. Доведемо, що СС1 пройде через що точку Н. Проведемо PQ ∥ BC, QR ∥ AC, PR ∥ AB Чотирикутниу ABCP: AP ∥ BC, PC ∥ AB, тоді АВСР – паралелограм; AP = BC. Чотирикутник AQBC – паралелограм; QB ∥ AC, QA ∥ BC, тоді AQBC – паралелограм; AQ = BC. Отже, AP = AQ; A – середина PQ. Аналогічно доводиться, що В – середина QR, C – середина PR. AA1 ⊥ BC, тоді AA1 ⊥ PQ. Отже, АА1 – серединний перпендикуляр до PQ. Аналогічно доводиться, що ВВ1 – серединний перпендикуляр до QR; CC1 – серединний перпендикуляр до PR. Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці. Отже, висоти АА1, ВВ1, СС1 перетинаються в одній точці.