Задачі підвищеної складності » 1362

1362. Задача Діофанта. Знайди сторони прямокутного трикутника, якщо вони дорівнюють х3, х3 – х і х3 + х, де х — якесь число. Дано: ∆АВС (∠С = 90°). АС = х3; ВС = х3 – х; АВ = х3 + х. Знайти: АС, ВС, АВ. Розв’язання За теоремою Піфагора: АВ2 = АС2 + ВС2. (x3 + x)2 = (x3)2 + (x3 – x)2; (x(x2 + 1))2 = x6 + (x(x2 – 1))2; x2(x4 + 2x2 + 1) = x6 + x2(x4 – 2x2 + 1); x6 + 2x4 + x2 = x6 + x6 – 2x4 + x2; x6 – 4x4 = 0; x4(x2 – 4) = 0; x4 = 0; x = 0 – не задов. умові. x2 – 4 = 0; х2 = 4; х = 2. АС = 23 = 8; ВС = 23 – 2 = 6; АВ = 23 + 2 = 6. Відповідь: 6; 8; 10.