Задачі підвищеної складності » 1363

1363. Задача Архімеда. Якщо хорди АВ і СD кола перетинаються в точці під прямим кутом, то сума квадратів відрізків АР, ВР, СР і DР дорівнює квадрату діаметра кола. Доведи. Дано: коло; AB X CD = P; AB ⊥ CD. Довести: AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = d2. Доведення Із точки А проведемо діаметр AL = d. За властивістю вписаного кута, що спирається на діаметр ∠LBA = 90°. ∆ABL (∠B = 90°): AB2 + BL2 = AL2. ∆APC (∠P = 90°): AP2 + CP2 = AC2. ∆BPD (∠P = 90°): BP2 + DP2 = BD2. AP2 + CP2 + BP2 + DP2 = AC2 + BD2. Доведемо, що AC2 + BD2 = d2. ∠ACL = 90°. ∠ADC = ∠ALC – спираються на ∪АС. В ∆APD і ∆ALC: ∠APD = ∠ACL = 90°. ∠PDA = ∠LCA – спираються на ∪АС. Отже, ∠PAD = ∠LAC. Оскільки ∠BAD = ∠LAC, то ∪BD = ∪CL. Отже, BD = CL. ∆ACL (∠C = 90°): AC2 + CL2 = AL2 = d2. AC2 + BD2 = d2; AC2 = AP2 + CP2, BD2 = BP2 + DP2 ⇒ AP2 + CP2 + BP2 + DP2 = d2. Отже, AP2 + BP2 + CP2 + DP2 = d2.