Задачі підвищеної складності » 1331

1331. На діагоналі АС ромба АБСБ взято довільну точку Р. Доведи, що АР • РС=АВ2 – РВ2. Дано: ABCD – ромб; Р ∈ АС. Довести: АР • РС = АВ2 – РВ2. Доведення AC ⊥ BD, тоді ∆АОВ і ∆РОВ – прямокутні. ∆АОВ (∠О = 90°): АВ2 = АО2 + ОВ2; ∆РОВ (∠О = 90°): РВ2 = РО2 + ОВ2; AB2 – PB2 = (AO2 + OB2) – (PO2 + OB2) = AO2 + OB2 – PO2 – OB2 = AO2 – PO2 = (AO – PO) • (AO + PO) = AP • (OC + OP) = AP • PC. Отже, AP • PC = AB2 – PB2.