Задачі для повторення » 963

Доведи, що кут між висотою і бісектрисою, проведеними з вершини B нерівнобедреного трикутника ABC, дорівнює піврізниці кутів A і C. ∆ABC, AB = AC. BM — бісектриса ∠ABC, BK — висота. Доведемо ∠MBK = (∠С- ∠А)/2. З ∆BMK (∠BKM = 90°, тому що BK — висота). ∠MBK = 90° – ∠BMK. ∠BMK — зовнішній кут ∆ABM, виходить, ∠BMK = ∠A + ∠ABM, ∠ABM = 1/2∠ABC (тому що BM — бісектриса кута ABC), тоді ∠BMK = ∠А + 1/2∠ABC. З ∆BKC, ∠BKC = 90° (тому що BK — висота) ∠KBC = 90° – ∠C. Виходить, 1/2∠ABC = ∠MBC = ∠MBK + 90° – ∠C, тоді ∠MBK = 90° – ∠A – (∠MBK + 90° – ∠C) = 90° – ∠A – ∠MBK –90° + ∠C. ∠MBK + ∠MBK = ∠C – ∠А. 2∠MBK – ∠C – ∠A. 2∠MBK = (∠С- ∠А)/2.