Задачі для повторення » 992

Знайди кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при вершині дорівнює куту між бісектрисами, проведеними до основи і до бічної сторони. ∆ABC, AB = BC. BK та AM — бісектриси ∠ABC = ∠AOK. Розглянемо ∆AOK, ∠AKO = 90°, тоді ∠AOK + ∠KAO = 90°, ∠KAO = 90° – ∠AOK, ∠KAO = 1/2∠BAK, оскільки AM — бісектриса ∠ВАС. Нехай ∠ABC = х, тоді ∠BAK = 2(90° – х), ∠BAC = ∠BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника. Одержуємо рівняння: х + (90– х) • 2 + (90– х) • 2 = 180°; х + 180° – 2х + 180° – 2х = 180°; Зх = 180°; х = 60°. Виходить, ∠ABC = 60°, ∠ВАС = ∠BCA = (90° – 60°) • 2 = 60°. Відповідь: 60°, 60°, 60°.