Задачі для повторення » 993

У рівнобедреному трикутнику ABC кут при вершині B у 2 рази менший від кута при основі, AD — бісектриса, D ∈ BC. Доведи, що ∆CAD і ∆ADB — рівнобедрені. ∆ABC, AB = BC. AD — бісектриса. ∠C = 2∠B. Доведемо: ∆CAD = ∆ADB рівнобедрені. Знайдемо кути ∆ABC. ∠C = ∠BAC як кути при основі. Нехай ∠B = х°, тоді ∠C = ∠BAC = 2х°. Одержуємо рівняння: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°. Виходить, ∠B = 36°, ∠C = ∠BAC = 72°. У ∆ADC, ∠C = 72°, ∠DAC = 1/2∠BAC (оскільки AD — бісектриса), виходить, ∠DAC = 72° • 1/2 = 36°, тоді ∠ADC = 180° – (72° + 36°) = 72° й ∆ADC — рівнобедрений. У ∆ABD, ∠B = 36°, ∠BAD = 36°, виходить, ∆ABD — рівнобедрений.