Розділ 3. Розв’язування прямокутних трикутників » 17.50

Відношення бічної сторони до основи рівнобедреного трикутника дорівнює 5 : 8, а різниця відрізків, на які бісектриса куса при основі ділить висоту, проведену до основи, дорівнює 3 см. Знайдіть периметр трикутника. 1) ABC — рівнобедрений трикутник з основою AC; AB : AC = 5 : 8. 2) Позначимо AB = 5х см; AC = 8х см. 3) BM— висота і медіана; AM = АС/2 = 8х/2 = 4х (см). 4) AK— бісектриса кута ВАМ, тоді АМ/АВ = КМ/ВК; КМ/ВК = 4х/5х = 4/5. 5) За умовою BK – KM = 3. Позначимо KM = у см, тоді BK = у + 3 (см); у/(у+3) = 4/5; 5у = 4у + 12; у = 12 (см). 6) Отже, BM = у + у + 3 = 2 • 12 + 3 = 27 (см). 7) У ∆АВМ: AB2 = AM2 + BM2; (5х)2 = (4х)2 + 272; 9х2 = 272; х2 = 81; х = 9 (см). 8) Отже, AB = BC = 5 • 9 = 45 (см); AC = 8 • 9 = 72 (см). 9) PАВС = 2 • 45 + 72 = 162 (см). Відповідь: 162 см.